Calculadora de progresión aritmética

Las fórmulas de la progresión aritmética

Una progresión aritmética tiene un salto constante, la diferencia común d, entre términos consecutivos. Dos fórmulas hacen todo el trabajo:

término n-ésimo:  a_n = a₁ + (n − 1) · d
suma:             S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)

Aquí a₁ es el primer término, d es la cantidad que se suma en cada paso (puede ser negativa para una progresión decreciente) y n es cuántos términos estás contando. La fórmula de la suma no es más que el promedio del primer y el último término, multiplicado por el número de términos que hay.

Un ejemplo resuelto

Toma a₁ = 2 y d = 3. La progresión es 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 …

Para hallar el 10.º término:

a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29

Para sumar los 10 primeros términos:

S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155

Así pues, el 10.º término es 29 y la suma acumulada es 155.

Términos, diferencias y sumas parciales

Fíjate en que cada término sube exactamente d = 3, la señal de una progresión aritmética (no geométrica). La suma parcial Sₙ crece más rápido que los propios términos, porque cada paso añade toda la línea acumulada, no solo el último valor.

Una comprobación rápida: la suma es igual al número de términos por el promedio del primer y el último término. Para n = 10 eso es 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15,5 = 155, que coincide exactamente con la tabla.

Errores frecuentes

• Equivocarse en uno con la n. La fórmula usa (n − 1)·d, no n·d. Al primer término no se le suma ninguna diferencia, así que a₁ = 2, no 5.
• Confundir aritmética con geométrica. Las progresiones aritméticas suman una d fija; las geométricas multiplican por una razón fija. Si tus saltos no paran de duplicarse, necesitas una herramienta geométrica.
• Las diferencias negativas son válidas. Una diferencia común de d = −4 da una progresión decreciente; siguen valiendo las mismas fórmulas.