Calculadora de binomio de Newton

El teorema del binomio dice que, para un número entero n:

(ax + b)^n = C(n, 0) (ax)^n + C(n, 1) (ax)^(n-1) b + ... + C(n, n) b^n

Cada término está numerado por k, de 0 a n, y el término general es C(n, k) a^(n-k) b^k x^(n-k). Con una segunda variable, al final se añade y^k. El coeficiente binomial es C(n, k) = n! / (k! (n-k)!), el número de formas de elegir k elementos de entre n (se lee «n sobre k»). La calculadora multiplica C(n, k), a^(n-k) y b^k como fracciones exactas y después simplifica el resultado.

Triángulo de Pascal: los coeficientes para a = b = 1

Cada número es la suma de los dos que tiene encima, y cada fila suma 2^n.

Ejemplos resueltos

• (2x + 3)^4 = 16 x^4 + 96 x^3 + 216 x^2 + 216 x + 81. Comprobación: con x = 1 sale 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625 = 5^4.
• (x - 2)^5 = x^5 - 10 x^4 + 40 x^3 - 80 x^2 + 80 x - 32. Un b negativo hace que los signos se alternen.
• (x/2 + 1)^3 = (1/8) x^3 + (3/4) x^2 + (3/2) x + 1. Las fracciones se mantienen exactas en lugar de convertirse en decimales redondeados.

Conviene saber

• La suma de todos los coeficientes es igual a (a + b)^n, una forma rápida de comprobar un desarrollo hecho a mano.
• Si a o b es 0, algunos términos desaparecen. La forma desarrollada los omite, y la tabla los sigue listando con coeficiente 0.
• Con potencia 0 el resultado es siempre 1.
• Un decimal se convierte primero en una fracción exacta: 0,25 se lee como 1/4. También se acepta el punto decimal, como en 0.5.
• La calculadora solo admite potencias enteras de 0 a 20. Las potencias fraccionarias y negativas requieren la serie binomial infinita, que esta herramienta no calcula.