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Calculadora de Probabilidad Binomial

Paso 1 / 4 P(X = k)
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Dado n ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p, la distribución binomial te dice cuántas veces verás exactamente k éxitos. La calculadora maneja la probabilidad exacta P(X = k), la acumulativa P(X ≤ k), la cola superior P(X ≥ k) y la media/varianza de una vez — todo con la combinatoria basada en log-gamma para que se mantenga precisa incluso con n = 10,000.

Cómo calcular la probabilidad binomial

  1. 1

    Ingresa n (número de ensayos)

    Debe ser un entero no negativo. Valores típicos: 10 lanzamientos de moneda, 100 visitantes de prueba A/B, 10,000 muestras de fabricación.

  2. 2

    Ingresa p (probabilidad de éxito)

    Un valor entre 0 y 1. Para una moneda justa p = 0.5; para una tasa de clics del 12% p = 0.12.

  3. 3

    Ingresa k (número objetivo de éxitos)

    Un entero de 0 a n.

  4. 4

    Lee las probabilidades

    P(X = k) exacta, cola izquierda P(X ≤ k), cola derecha P(X ≥ k), más media = np y varianza = np(1-p).

La fórmula

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Donde C(n, k) es el coeficiente binomial “n elegir k”. La herramienta utiliza aritmética en espacio logarítmico a través de la función gamma para evitar desbordamientos cuando n es grande.

Ejemplo resuelto: 10 lanzamientos de moneda, exactamente 7 caras

  • n = 10, p = 0.5, k = 7
  • C(10, 7) = 120
  • P(X = 7) = 120 · 0.5^7 · 0.5^3 = 120 / 1024 ≈ 0.1172

Así que aproximadamente el 11.7% del tiempo verás exactamente 7 caras en 10 lanzamientos.

Cuándo se aplica la distribución binomial

Se deben cumplir las cuatro suposiciones de Bernoulli:

  1. Número fijo de ensayos (n se decide de antemano).
  2. Cada ensayo es independiente de los demás.
  3. Solo dos resultados por ensayo (éxito / fracaso).
  4. Probabilidad de éxito constante p en todos los ensayos.

Si alguna suposición se rompe (extracciones dependientes sin reemplazo, p variable, más de dos resultados), utiliza la distribución hipergeométrica, Poisson-binomial o multinomial en su lugar.

Media, varianza y aproximación normal

  • Media: μ = np
  • Varianza: σ² = np(1-p)
  • Desviación estándar: σ = √(np(1-p))

Cuando np ≥ 10 y n(1-p) ≥ 10, la binomial se aproxima bien a Normal(μ, σ²) con una corrección de continuidad. La calculadora señala esta condición para que puedas cambiar a un atajo de puntuación z cuando sea aplicable.

Preguntas frecuentes

P(X = k) es la probabilidad de exactamente k éxitos; P(X ≤ k) es la probabilidad acumulativa de como máximo k. Para 10 lanzamientos de una moneda justa, P(X = 5) ≈ 0.246 pero P(X ≤ 5) ≈ 0.623.

Sí. La calculadora devuelve P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1). Para “más de k”, resta uno más: P(X > k) = P(X ≥ k+1).

Hasta 100,000 es estable gracias al cálculo log-gamma. Más allá de eso, usa la aproximación normal o la aproximación de Poisson (válida cuando p es pequeña y n es grande).

Entonces necesitas la distribución Poisson-binomial, no la binomial simple. Esta calculadora asume un p constante en todos los n ensayos.

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