Calculadora de Raíz Cuadrada
Ingresa un número positivo y la calculadora devuelve su raíz cuadrada en forma decimal hasta 15 dígitos y, cuando sea posible, su forma radical simplificada exacta — √72 se convierte en 6√2, √200 se convierte en 10√2. Para cuadrados perfectos obtienes un entero; para negativos obtienes notación i con la unidad imaginaria extraída.
Cómo se calcula la raíz
-
1
Ingresa el radicando
El número bajo la raíz. Positivo, negativo o cero.
-
2
Forma decimal
Calculado a través de la instrucción de raíz cuadrada IEEE 754 — preciso hasta 15 dígitos significativos.
-
3
Forma radical simplificada
Factoriza los divisores de cuadrados perfectos. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
-
4
Muestra el trabajo
La factorización paso a paso se muestra para que puedas reproducirla a mano.
Cuadrados perfectos que debes conocer
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
Simplificando cuadrados no perfectos
El truco es encontrar el mayor factor cuadrado perfecto:
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
Si el resultado aún tiene un factor no cuadrado, repite: √180 = √(36 × 5) = 6√5, no √(4 × 45) = 2√45 (no completamente simplificado).
Valores decimales comunes
- √2 ≈ 1.41421 (Pitágoras en un cuadrado unitario)
- √3 ≈ 1.73205 (diagonal de un cubo)
- √5 ≈ 2.23607 (aparece en la proporción áurea (1+√5)/2)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1.77245 (usado en estadísticas, integrales gaussianas)
- √10 ≈ 3.16228
- √(1000) ≈ 31.6228 (cada aumento de 10x incrementa √ en ~3.16x)
Números negativos e imaginarios
La raíz cuadrada de un número negativo no está definida en los reales. En los números complejos, √(−x) = i√x para x positivo. Así que √(−4) = 2i. La calculadora reporta la forma imaginaria en lugar de un decimal para entradas negativas.
Raíz cuadrada vs raíz enésima
La calculadora maneja raíces cuadradas (2ª). Para raíces cúbicas, raíces cuartas, etc., usa una herramienta general de raíz enésima. Identidades clave:
- √(ab) = √a × √b (solo si a y b son no negativos)
- √(a/b) = √a / √b (solo si b > 0)
- (√a)² = a (solo si a >= 0)
Apunte histórico
El símbolo radical √ evolucionó de la letra r (por radix, raíz en latín) en los años 1500. La barra horizontal (el vínculo) se añadió en el siglo XVII para delimitar lo que está bajo la raíz.
Preguntas frecuentes
Cada número positivo tiene dos raíces cuadradas: +x y −x. La raíz principal (la no negativa) es a la que generalmente se refiere √. Las ecuaciones cuadráticas utilizan ambas.
Solo 5, por convención. √ devuelve la raíz principal (no negativa). Al resolver x² = 25, tanto 5 como −5 satisfacen la ecuación, así que escribes x = ±5.
Métodos históricos: algoritmo de división larga dígito por dígito, método de Newton (iterativo: x_new = (x + a/x)/2), o factorizar y simplificar para raíces de números ricos en cuadrados perfectos. El método de Newton converge rápidamente: tres iteraciones dan precisión de 10 dígitos para la mayoría de las entradas.
Demostrado por los griegos por reducción al absurdo: si √2 = p/q como fracción irreducible, entonces 2q² = p², lo que hace que p sea par, así que p = 2k, luego 2q² = 4k², dando q² = 2k², lo que hace que q también sea par — contradiciendo que la fracción fuera irreducible. Así que √2 no puede ser una fracción; es irracional.
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