Calculadora de raíz cuadrada
Introduce cualquier número. Para entradas no negativas, la calculadora devuelve la raíz cuadrada principal como decimal; para enteros positivos también muestra una forma radical simplificada cuando es posible: √72 = 6√2 y √200 = 10√2. Los cuadrados perfectos devuelven números enteros. Las entradas negativas se marcan como complejas, y la guía inferior explica cómo √(−x) se convierte en i√x.
Cómo se calcula la raíz
-
1
Introduce el radicando
Escribe el número que va debajo del signo radical. Puede ser positivo, negativo o cero.
-
2
Lee el resultado decimal
Para entradas no negativas, la calculadora devuelve la raíz principal con el cálculo estándar de raíz cuadrada en coma flotante.
-
3
Revisa la forma radical simplificada
Para enteros positivos, los factores que son cuadrados perfectos salen fuera del radical. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
-
4
Usa las notas para comprobarlo
Los ejemplos de abajo muestran el método por factores, valores decimales habituales y la diferencia entre raíces reales y complejas.
Cuadrados perfectos útiles
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
Simplificar números que no son cuadrados perfectos
En números enteros, busca el mayor factor que sea cuadrado perfecto:
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
Si queda un factor que no es cuadrado, déjalo bajo el radical. Por ejemplo, √180 = √(36 × 5) = 6√5, no √(4 × 45) = 2√45, porque 45 todavía contiene el factor cuadrado perfecto 9.
Valores decimales comunes y usos
- √2 ≈ 1,41421 (geometría escolar: la diagonal de un cuadrado de 1 × 1)
- √3 ≈ 1,73205 (diagonal espacial de un cubo unitario)
- √5 ≈ 2,23607 (aparece en la proporción áurea (1+√5)/2)
- √7 ≈ 2,64575
- √π ≈ 1,77245 (estadística e integrales gaussianas)
- √10 ≈ 3,16228
- √(1000) ≈ 31,6228 (multiplicar el número por 10 multiplica la raíz por unas 3,16 veces)
En construcción o medición, las raíces cuadradas suelen convertir un área en una longitud lateral: un patio cuadrado de 49 m² tiene lado √49 = 7 m, mientras que un espacio cuadrado de 80 m² tiene lado √80 = 4√5 m ≈ 8,94 m.
Números negativos y raíces complejas
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. En los números complejos, √(−x) = i√x para x positivo, por lo que √(−4) = 2i. La calculadora en vivo marca las entradas negativas como complejas en lugar de mostrar un decimal real.
Raíz cuadrada frente a raíz enésima
Esta calculadora maneja raíces cuadradas, es decir, raíces de índice 2. Para raíces cúbicas, cuartas raíces y otros índices, usa una herramienta general de raíz enésima. Identidades clave:
- √(ab) = √a × √b (solo si a y b son no negativos)
- √(a/b) = √a / √b (solo si b > 0)
- (√a)² = a (solo si a >= 0)
Apunte histórico
El símbolo radical √ evolucionó a partir de la letra r, de radix, raíz en latín, en el siglo XVI. La barra horizontal, llamada vinculum, se añadió en el siglo XVII para mostrar exactamente qué queda bajo la raíz.
Preguntas frecuentes
Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas: +r y −r. El símbolo radical √ devuelve la raíz principal, la no negativa. Al resolver ecuaciones cuadráticas, normalmente se consideran ambas raíces.
Solo 5 por convención. √ devuelve la raíz principal. Al resolver x² = 25, tanto 5 como −5 satisfacen la ecuación, así que se escribe x = ±5.
Los métodos habituales incluyen sacar cuadrados perfectos del radical, el algoritmo de división larga dígito a dígito y el método de Newton: x_new = (x + a/x)/2. El método de Newton converge rápido; unas pocas iteraciones suelen bastar para comprobaciones de clase.
Una demostración clásica usa contradicción. Si √2 = p/q en su mínima expresión, entonces 2q² = p², así que p es par. Escribimos p = 2k, lo que da q² = 2k², por tanto q también es par. Eso contradice que p/q estuviera en su mínima expresión, así que √2 no puede ser una fracción.
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