Softonic

Calculadora de Combinaciones

Paso 1 / 3
Siguiente

C(n, k), lee “n elegir k”, cuenta el número de formas de elegir k elementos de n cuando el orden no importa. Elige 3 ingredientes de 10 → C(10, 3) = 120. Reparte manos de 5 cartas de 52 → C(52, 5) = 2,598,960. La calculadora acepta n hasta 170, devuelve el resultado entero exacto con aritmética de precisión arbitraria (sin redondeos de notación científica) y también muestra el recuento de permutaciones P(n, k).

Cómo se calculan las combinaciones

  1. 1

    Ingresa n y k

    Ambos son enteros no negativos con k ≤ n. n es el tamaño del conjunto; k es el tamaño de la selección. Los valores por encima de 170 se limitan.

  2. 2

    Fórmula aplicada

    C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). La herramienta también calcula P(n, k), el número de selecciones ordenadas.

  3. 3

    Salida entera exacta

    El cálculo usa aritmética entera exacta, así que los resultados nunca pierden dígitos, ni siquiera con valores como C(170, 85).

  4. 4

    Ambos resultados mostrados

    Las combinaciones C(n, k) y las permutaciones P(n, k) se muestran juntas; P(n, k) = C(n, k) × k!.

La fórmula

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Equivalente: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

Ejemplos resueltos

  • C(10, 3) = 120: formas de elegir 3 ingredientes de 10.
  • C(52, 5) = 2,598,960: manos de póker de 5 cartas de una baraja estándar.
  • C(49, 6) = 13,983,816: combinaciones del sorteo principal de la Lotería Nacional del Reino Unido.
  • C(70, 5) × 25 = 302,575,350: combinaciones del premio mayor de Mega Millions (5 bolas principales de 70 + 1 bola Mega de 25).
  • C(100, 50) ≈ 1.01 × 10²⁹: subconjuntos de la mitad de un conjunto de 100 elementos.

Combinaciones vs permutaciones

  • Combinación C(n, k): el orden no importa. Elegir {A, B, C} es lo mismo que {C, B, A}.
  • Permutación P(n, k): el orden importa. {A, B, C} difiere de {C, B, A}.
  • Relación: P(n, k) = C(n, k) × k!

Los sorteos de lotería son combinaciones (el orden de las bolas no importa). Las posiciones de llegada en una carrera son permutaciones (primer, segundo, tercero importan).

Triángulo de Pascal

C(n, k) forma el triángulo de Pascal cuando se organiza:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

Cada entrada C(n, k) es la suma de las dos entradas arriba de ella: C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Simétrico: C(n, k) = C(n, n-k).

Propiedades

  • C(n, 0) = C(n, n) = 1: solo hay una forma de elegir nada o todo.
  • C(n, 1) = n: n formas de elegir un elemento.
  • Suma de la fila n: Σ C(n, k) desde k=0 hasta n = 2ⁿ. Total de subconjuntos de un conjunto de n elementos.
  • Palo de hockey: Σ C(i, k) desde i=k hasta n = C(n+1, k+1).

Aplicaciones en el mundo real

  • Probabilidades de lotería: 1 / C(n, k) para números exactos sorteados.
  • Diseño de muestreo: elegir grupos de prueba de una población.
  • Genética: contar posibles genotipos de descendencia.
  • Programación: torneos de round-robin necesitan C(equipos, 2) juegos.
  • Distribución binomial: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).
  • Selección de comités: formas de formar un comité de 5 de 20 miembros = C(20, 5) = 15,504.

Números grandes: igual de exactos

Los resultados crecen rápido: C(100, 50) ya tiene 30 dígitos. La calculadora limita n a 170, lo que cubre todos los usos prácticos como loterías, comités y muestreos, y mantiene cada respuesta exacta porque el cálculo usa aritmética entera de precisión arbitraria en lugar de punto flotante.

Preguntas frecuentes

Elegir k elementos para incluir es matemáticamente equivalente a elegir n-k elementos para excluir. Mismo número de arreglos. C(10, 3) = C(10, 7) = 120.

C(n, k) = 0 por convención cuando k > n, no puedes elegir más elementos de los que tienes. La calculadora lo señala y devuelve 0.

La calculadora acepta n hasta 170 y siempre devuelve el entero exacto. Para problemas estándar de lotería y probabilidad, n casi siempre está por debajo de 100.

No. Las “combinaciones con repetición” (también llamadas multiconjuntos) usan una fórmula diferente, C(n+k−1, k), que esta herramienta no calcula. Trata ese caso como un problema aparte.

Herramientas relacionadas

Calculadora de numerología

Calcula números numerológicos basados en el nombre con valores pitagóricos o caldeos: expresión, impulso del alma y personalidad.

Calculadora de cuello de botella entre CPU y GPU

Compara los tiempos de fotograma de CPU y GPU de una misma escena, estima el límite de FPS, aplica una tolerancia y entiende qué demuestra el resultado.

Calculadora de interés compuesto

Proyecta el crecimiento de ahorros o inversiones con interés compuesto. Modela saldo inicial, aportaciones, tasa anual, frecuencia de capitalización y plazo.

Calculadora de edad

Calcula la edad exacta en años, meses y días a partir de una fecha de nacimiento, además del total de días, horas y la cuenta regresiva para el próximo cumpleaños.

Convertidor de Bar a PSI

Convierte la presión de bar a libras por pulgada cuadrada (psi) y kilopascales (kPa). 1 bar = 14.5038 psi exactamente.

Calculadora de signo lunar

Estima en qué signo zodiacal estaba la Luna en tu fecha de nacimiento y aprende qué significa el signo lunar en una carta natal occidental.