Calculadora de completar el cuadrado
Dada una cuadrática ax²+bx+c, completar el cuadrado la reescribe como a(x-h)²+k, revelando directamente el vértice de la parábola (h, k). Ingresa a, b y c y la calculadora devuelve la forma de vértice a(x − h)² + k junto con las coordenadas del vértice (h, k). Útil para cálculo, física (movimiento de proyectiles), problemas de optimización y tareas de álgebra.
Cómo funciona completar el cuadrado
-
1
Ingresa los coeficientes a, b, c
La cuadrática ax² + bx + c. Introduce decimales; una fracción como 1/2 se escribe como 0,5.
-
2
Factoriza a de los términos x² y x
a(x² + (b/a)x) + c, separa la constante de los términos en x.
-
3
Suma y resta (b/(2a))²
Crea un cuadrado perfecto: a(x² + (b/a)x + (b/(2a))²) − a(b/(2a))² + c.
-
4
Colapsa a la forma de vértice
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) = a(x − h)² + k, donde h = −b/(2a) y k = c − b²/(4a).
Ejemplo resuelto: 2x² + 8x + 5
Paso 1, factoriza a = 2 de los términos en x: 2(x² + 4x) + 5
Paso 2, la mitad de 4 es 2, al cuadrado es 4. Suma y resta 4 dentro: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5
Paso 3, divide en cuadrado perfecto y sobrante: 2((x + 2)² − 4) + 5
Paso 4, distribuye 2: 2(x + 2)² − 8 + 5
Paso 5, simplifica la constante: 2(x + 2)² − 3
Forma de vértice: a = 2, h = −2, k = −3 → vértice en (−2, −3).
La fórmula general
Para ax² + bx + c:
- h = −b / (2a)
- k = c − b² / (4a)
- Forma de vértice: a(x − h)² + k
¿Por qué completar el cuadrado?
- Encuentra el vértice al instante para esbozar la parábola.
- Resuelve ecuaciones cuadráticas sin la fórmula cuadrática, especialmente útil para raíces irracionales.
- Deriva la fórmula cuadrática: completar el cuadrado en ax² + bx + c = 0 produce x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Cálculo: encontrar extremos de cuadráticas sin tomar derivadas.
- Movimiento de proyectiles: la altura máxima de una pelota lanzada hacia arriba es el k en la forma de vértice de su ecuación de altura.
- Círculos y secciones cónicas: completar el cuadrado en ambos términos x e y convierte x² + y² + Dx + Ey + F = 0 en (x−h)² + (y−k)² = r², haciendo obvio el centro y el radio.
Geometría de la parábola desde la forma de vértice
- Vértice: (h, k).
- Eje de simetría: x = h.
- Se abre hacia arriba si a > 0, hacia abajo si a < 0.
- Valor máximo o mínimo de la función: k.
- Ancho: más estrecho para |a| > 1, más ancho para |a| < 1.
- Raíces (si son reales): x = h ± √(−k/a). Reales solo cuando k/a ≤ 0.
Errores comunes
- Olvidar distribuir a después de completar el cuadrado dentro de los paréntesis. El término de corrección cambia.
- Errores de signo en b/(2a): h = −b/(2a), no +b/(2a).
- No dividir el coeficiente medio antes de elevar al cuadrado. “La mitad de b sobre a, luego cuadrar” es la frase canónica.
- Dejar a ≠ 1 enterrado: siempre factorízalo primero para simplificar.
Caso especial: a = 1
Cuando a = 1, el proceso se simplifica:
- x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
- h = −b/2, k = c − b²/4
k negativo significa raíces reales
Si k tiene el signo opuesto a a, la parábola cruza el eje x. Resuelve a(x − h)² = −k para encontrarlas.
Preguntas frecuentes
Completar el cuadrado expone directamente el vértice (forma de la gráfica), mientras que la fórmula cuadrática da las raíces. Ambos tienen sus usos: raíces cuando quieres dónde y = 0, forma de vértice cuando quieres forma, máximo, mínimo o eje de simetría.
Introduce los coeficientes como decimales; las fracciones como 1/2 o 3/4 se escriben como 0,5 o 0,75. Los resultados se calculan con la precisión habitual de coma flotante de una calculadora.
Esta versión maneja cuadráticas en una sola variable. Para secciones cónicas (círculos, elipses) en x e y, completa el cuadrado en cada variable por separado, el proceso es idéntico, aplicado dos veces.
La forma de vértice sigue funcionando, la parábola simplemente no cruza el eje x, por lo que no hay raíces reales. La calculadora sigue devolviendo la forma de vértice y las coordenadas del vértice.
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