Calculadora de Covarianza
La covarianza mide cómo varían juntas dos variables. Una covarianza positiva significa que tienden a moverse en la misma dirección, negativa significa que se mueven en direcciones opuestas, y cero significa que no hay relación lineal. A diferencia de la correlación, la covarianza está en las unidades originales al cuadrado, por lo que su magnitud es difícil de interpretar sin contexto. Esta calculadora devuelve tanto la covarianza de muestra (dividiendo por n-1) como la covarianza de población (dividiendo por n).
Cómo calcular la covarianza
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1
Pega los datos emparejados X/Y
Un X y un Y por fila. Separados por comas, tabulaciones o espacios. Mismo conteo en cada columna.
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2
Se muestran ambas versiones
La calculadora siempre muestra ambas: la covarianza de muestra (dividiendo por n-1) y la de población (dividiendo por n).
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3
Ejecuta el cálculo
La calculadora calcula las medias, las desviaciones cruzadas y divide por n o n-1.
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4
Lee el resultado
Lee los dos valores de covarianza. Un valor positivo significa que las variables tienden a moverse juntas; uno negativo, que se mueven en direcciones opuestas.
Fórmulas
Covarianza de muestra: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (n - 1)
Covarianza de población: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / n
El divisor n - 1 (corrección de Bessel) hace que la covarianza de muestra sea un estimador imparcial de la covarianza de población. El software estadístico predetermina la versión de muestra.
Lo que importa es el signo
| Signo | Significado |
|---|---|
| Positivo | X e Y tienden a estar por encima/debajo de sus medias juntos |
| Negativo | X por encima de la media tiende a emparejarse con Y por debajo de la media |
| Cero | Sin patrón lineal (podría seguir siendo no lineal) |
La magnitud depende de las unidades: cov(altura_cm, peso_kg) para adultos es aproximadamente +70, pero si cambias la altura a metros baja a +0,7: misma relación, número diferente. Por eso la correlación se informa más comúnmente.
Covarianza vs. correlación
correlación = covarianza / (σ_X × σ_Y)
La correlación es la versión sin unidades, siempre en [-1, +1], comparable entre conjuntos de datos. La covarianza es más útil dentro de fórmulas (varianza de cartera, regresión, PCA) que como estadística resumen.
Dónde se usa la covarianza directamente
- Teoría de carteras: varianza de cartera = Σ wᵢ wⱼ cov(rᵢ, rⱼ). Necesitas covarianza, no correlación, porque los pesos y varianzas importan.
- Regresión lineal: la estimación de la pendiente β = cov(X, Y) / var(X).
- Análisis de componentes principales (PCA): la matriz de covarianza es lo que se diagonaliza.
- Procesamiento de señales: la covarianza cruzada mide la similitud entre señales en diferentes retrasos.
Errores comunes
- Mezclar n y n-1: la covarianza de muestra y población puede diferir en unos pocos porcentajes en conjuntos de datos pequeños y causar problemas de reproducibilidad. Decide cuál necesitas y decláralo.
- Interpretar la magnitud: una covarianza de 50 no es “grande” por sí sola; depende completamente de las unidades y la varianza de X e Y.
- Asumir que covarianza cero = independencia: covarianza cero significa que no hay relación lineal. Dos variables pueden tener covarianza 0 y aún ser perfectamente predecibles no linealmente (por ejemplo, Y = X² en X simétrico).
Preguntas frecuentes
Muestra (divide por n-1) cuando tus datos son una muestra de una población más grande, el caso normal en la investigación. Población (divide por n) solo cuando tu conjunto de datos contiene literalmente cada posible observación. Predetermina a muestra a menos que estés seguro.
Porque la covarianza está en el producto de las dos unidades. Si X está en euros y Y en unidades, la covarianza está en euros-unidades. Convierte a correlación (divide por σ_X × σ_Y) si deseas un número sin unidades.
No. |cov(X, Y)| ≤ σ_X × σ_Y (Cauchy-Schwarz). La igualdad se mantiene solo cuando Y es una función lineal perfecta de X. Si tu calculadora muestra una covarianza mayor, hay un error.
No necesariamente. La covarianza cero significa que no hay relación lineal. La función Y = sin(X) en [0, 2π] tiene covarianza 0 con X pero está perfectamente determinada. Solo para variables con distribución normal conjunta la covarianza cero implica independencia.
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