Resolutor de Ecuaciones Cúbicas
Una ecuación cúbica tiene la forma general ax³ + bx² + cx + d = 0 y siempre tiene tres raíces en los números complejos. Ingresa los cuatro coeficientes y el resolutor las devuelve usando la fórmula de Cardano: tres raíces reales cuando el discriminante es no positivo, una raíz real más un par de conjugadas complejas cuando el discriminante es positivo, y una configuración de raíz doble cuando el discriminante es cero.
Cómo encuentra el resolutor las raíces
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1
Ingresa coeficientes
Cuatro números: a, b, c, d. El coeficiente principal a debe ser diferente de cero; de lo contrario, la ecuación es cuadrática, no cúbica.
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2
Cúbica deprimida
El resolutor desplaza la ecuación por -b/(3a) para eliminar el término cuadrático, produciendo la forma `t³ + pt + q = 0`.
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3
Verificación del discriminante
Δ = (q/2)² + (p/3)³ decide el camino: Δ > 0 da una raíz real, Δ = 0 da una raíz doble, Δ < 0 da tres raíces reales a través de trigonometría.
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4
Desplazar de nuevo
Cada raíz encontrada en el espacio t se desplaza por -b/(3a) para recuperar x. El resolutor las devuelve en orden descendente donde sea aplicable.
Casos del discriminante y lo que significan
El método de Cardano sigue una de tres ramas según el signo del discriminante Δ = (q/2)² + (p/3)³. La geometría de la gráfica cúbica refleja esto de forma exacta.
Tabla de casos
| Discriminante | Raíces | Forma del gráfico |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 1 real, 2 complejas conjugadas | Cruza el eje x una vez |
| Δ = 0 | 3 reales, al menos dos iguales | Toca el eje x en una raíz doble |
| Δ < 0 | 3 raíces reales distintas | Cruza el eje x tres veces |
Ejemplo resuelto
Para x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (coeficientes 1, −6, 11, −6):
- Desplaza por −b/(3a) = 2 para obtener la forma deprimida: p = −1, q = 0.
- Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, así que tomamos el camino de las tres raíces reales (trigonométrico).
- La fórmula trigonométrica da las tres raíces reales distintas x = 1, 2, 3.
Consideraciones numéricas
- Error de punto flotante se introduce cuando las tres raíces están muy juntas (una raíz casi triple). Las raíces mostradas pueden diferir en los últimos lugares decimales de los valores exactos.
- Un a muy pequeño hace que b/(3a) sea grande, lo que domina la aritmética y reduce la precisión. Si
|a|está por debajo de aproximadamente 1e-12, resuelve como cuadrática en su lugar. - Coeficientes enteros dan la salida más limpia: las raíces racionales aparecerán en sus valores exactos hasta el redondeo de punto flotante.
Ecuaciones relacionadas
- Cuadrática:
ax² + bx + c = 0. Usa el Resolutor de Ecuaciones Cuadráticas, forma cerrada y más simple. - Cuártica:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. El método de Ferrari se reduce a una cúbica resolvente; no cubierto aquí. - Cúbica deprimida: establece b = 0 para omitir el desplazamiento y alimenta
x³ + px + q = 0directamente.
Preguntas frecuentes
La ecuación ya no es cúbica. El resolutor se niega a continuar en ese caso; cambia al Resolutor de Ecuaciones Cuadráticas para bx² + cx + d = 0.
El resolutor devuelve la única raíz real en ese caso. Las otras dos raíces son un par de conjugadas complejas que la fórmula de Cardano da en forma cerrada; calcúlalas como -x1/2 ± (√3/2) × i × módulo si las necesitas para una respuesta simbólica.
Las implementaciones numéricas del método de Cardano pueden producir residuos del orden de 1e-15 debido al redondeo de punto flotante. Trata cualquier cosa por debajo de 1e-10 como real; este resolutor ya filtra esos residuos para la rama Δ < 0.
Los cuatro coeficientes se envían al servidor solo para calcular las raíces y no se guardan. Si usas la vista paso a paso, los coeficientes también aparecen en el enlace de la página.
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