Calculadora de Producto Punto

Las dos fórmulas

Forma componente para vectores a = (a1, a2, ..., an) y b = (b1, b2, ..., bn):

a . b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

Forma geométrica:

a . b = |a| * |b| * cos(theta)

Las dos expresiones son iguales; igualarlas te da cos(theta) = (a.b) / (|a| |b|), la fórmula de similitud coseno.

Lo que indica el signo

Ejemplo resuelto

a = (3, 4), b = (1, 2):

• Componentes: 31 + 42 = 3 + 8 = 11
• |a| = sqrt(9 + 16) = 5
• |b| = sqrt(1 + 4) = sqrt(5) ~ 2.236
• cos(theta) = 11 / (5 * 2.236) = 0.9839
• theta = arccos(0.9839) ~ 10.3 grados

Los vectores apuntan casi en la misma dirección, de ahí el gran producto punto positivo.

Aplicaciones comunes

• Similitud coseno para sistemas de recomendación: ¿qué tan similares son dos vectores de incrustación?
• Proyección de un vector sobre otro: proj_b(a) = (a . b) / |b|^2 * b.
• Trabajo en física: W = F . d, el producto punto de la fuerza por el desplazamiento.
• Iluminación gráfica: el producto punto de la normal de la superficie por la dirección de la luz da el brillo difuso (ley de Lambert).
• Verificación de ortogonalidad: verifica rápidamente si dos vectores base son perpendiculares.

Consejos

• Normaliza antes de comparar. Si solo te importa la dirección (similitud), divide cada vector por su magnitud primero; entonces el producto punto es igual al coseno directamente.
• Cuidado con la dimensión. Un vector de 3 dimensiones puntuado con un vector de 4 dimensiones no está definido; rellena o trunca deliberadamente, no accidentalmente.
• Estabilidad numérica. Para vectores muy grandes, la acumulación de punto flotante puede perder precisión; usa doble precisión o suma de Kahan cuando la dimensión excede unos pocos miles.