Calculadora de valores propios
Usa esta calculadora de valores propios (autovalores) para resolver una matriz real 2×2 a partir de sus cuatro entradas. La herramienta calcula la traza, el determinante, el polinomio característico, el discriminante y los valores propios, y después muestra los vectores propios reales cuando los dos valores propios son distintos y reales. Está pensada para los ejercicios de álgebra lineal, para comprobaciones rápidas en modelos de ingeniería y para verificar el resultado antes de diagonalizar a mano una matriz pequeña.
Cómo hallar los valores propios
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1
Introduce las entradas de la matriz
Rellena a, b, c y d para la matriz A = [[a, b], [c, d]]. Se aceptan decimales y valores negativos.
-
2
Forma la ecuación característica
La calculadora usa la traza T = a + d y el determinante D = ad - bc para construir λ² - Tλ + D = 0.
-
3
Clasifica las raíces
El discriminante T² - 4D determina si los valores propios son dos números reales, un valor doble o un par de complejos conjugados.
Fórmula para una matriz 2×2
Para A = [[a, b], [c, d]], los valores propios son las raíces de:
det(A - λI) = 0
Al desarrollar ese determinante se obtiene:
λ² - Tλ + D = 0
Donde:
T = a + des la traza.D = ad - bces el determinante.Δ = T² - 4Des el discriminante.
Entonces:
λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2
Ejemplo resuelto
Para A = [[2, 1], [1, 2]], la traza es T = 2 + 2 = 4 y el determinante es D = 2·2 - 1·1 = 3. El polinomio característico es:
λ² - 4λ + 3 = 0
El discriminante vale Δ = 4² - 4·3 = 4, así que los valores propios son:
λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3
λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1
Para el valor propio 3, un vector propio es [1, 1]. Para el valor propio 1, un vector propio es [1, -1]. Cualquier múltiplo escalar no nulo de esos vectores también es un vector propio válido.
Qué significa el discriminante
| Discriminante Δ | Caso de los valores propios | Qué debes esperar |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos valores propios reales | Dos raíces reales distintas y, en una matriz 2×2, dos vectores propios independientes cuando la matriz es diagonalizable sobre los reales. |
| Δ = 0 | Valor propio doble | Una raíz doble. El subespacio propio puede tener una o dos dimensiones, así que revisa los vectores propios aparte si te importa la diagonalización. |
| Δ < 0 | Par de complejos conjugados | No hay valores propios reales. Las raíces tienen la misma parte real y partes imaginarias opuestas. |
Errores frecuentes
- Plantear mal
A - λI. Solo cambian las entradas de la diagonal:a - λyd - λ. - Olvidar el signo del determinante. En una matriz 2×2,
D = ad - bc, noad + bc. - Dar por diagonalizable un valor propio doble. Una raíz doble sigue necesitando suficientes vectores propios independientes.
- Redondear demasiado pronto. Mantén exactos la traza, el determinante y el discriminante todo lo posible, sobre todo con decimales.
Preguntas frecuentes
La herramienta se centra en matrices reales 2×2. Así el resultado es transparente: cada valor sale de la traza, el determinante y el polinomio característico de segundo grado.
Sí. Si el discriminante T² - 4D es negativo, los valores propios forman un par de complejos conjugados. Una matriz de rotación como [[0, -1], [1, 0]] es el ejemplo clásico.
La calculadora muestra los vectores propios cuando los valores propios reales son distintos, porque entonces se puede dar un vector real sencillo para cada raíz. Los casos dobles y complejos necesitan contexto adicional, así que ahí la herramienta se centra en los valores propios y su clasificación.
No hay ninguna subida de archivos. Las entradas las evalúa el componente de la página para obtener la traza, el determinante, el polinomio y los valores propios.
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