Calculadora de área de una elipse
Introduce el semieje mayor (a) y el semieje menor (b) y esta calculadora devuelve el área de la elipse con la fórmula exacta A = πab, un perímetro preciso mediante la aproximación de Ramanujan y la excentricidad, que describe lo alargada que está la elipse. Es útil para mesas ovaladas, pistas de atletismo, órbitas, parterres de jardín y cualquier forma oval en la que no sirva la fórmula de un círculo. Cuando a es igual a b la elipse se convierte en una circunferencia, así que el área se reduce a πr².
Cómo se calcula el área de una elipse
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1
Introduce el semieje mayor (a)
La mitad del diámetro más largo de la elipse, medido desde el centro hasta el borde más lejano. Sirve cualquier unidad (cm, pulgadas, metros) y el resultado usa la misma unidad para la longitud y su cuadrado para el área.
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2
Introduce el semieje menor (b)
La mitad del diámetro más corto, medido desde el centro hasta el borde más cercano. No debe ser mayor que a; si los intercambias las cuentas siguen siendo válidas, ya que el mayor se toma simplemente como eje mayor.
-
3
Consulta los resultados
El área usa la fórmula exacta A = πab. El perímetro emplea la aproximación de alta precisión de Ramanujan (no existe una fórmula cerrada exacta). La excentricidad e = √(1 − b²/a²) va de 0 (una circunferencia) hacia 1 (una elipse larga y estrecha).
Las fórmulas
Para una elipse con semieje mayor a y semieje menor b:
-
Área: A = π × a × b
-
Excentricidad: e = √(1 − b²/a²), donde 0 ≤ e < 1
-
Perímetro (aproximación de Ramanujan): con h = (a − b)² / (a + b)²,
P ≈ π(a + b) × (1 + 3h / (10 + √(4 − 3h)))
No existe una fórmula exacta sencilla para el perímetro de una elipse: requiere una integral elíptica. La segunda aproximación de Ramanujan anterior tiene una precisión mejor que una parte entre diez millones para la mayoría de las formas cotidianas, mucho más ajustada que cualquier cinta métrica.
Ejemplo resuelto
Toma una mesa ovalada con semieje mayor a = 5 y semieje menor b = 3.
- Área = π × 5 × 3 = 47,1239 unidades cuadradas
- h = (5 − 3)² / (5 + 3)² = 4 / 64 = 0,0625
- Perímetro ≈ π × 8 × (1 + 3×0,0625 / (10 + √(4 − 0,1875))) ≈ 25,5269 unidades
- Excentricidad = √(1 − 9/25) = √0,64 = 0,8
Así que la mesa es bastante alargada (e = 0,8) y necesitarías unas 25,53 unidades de canto para rematarla.
Valores de referencia
| a | b | Área (πab) | Perímetro | Excentricidad |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 3,1416 | 6,2832 | 0,0000 |
| 2 | 1 | 6,2832 | 9,6884 | 0,8660 |
| 3 | 2 | 18,8496 | 15,8654 | 0,7454 |
| 5 | 3 | 47,1239 | 25,5269 | 0,8000 |
| 10 | 4 | 125,6637 | 45,7888 | 0,9165 |
| 10 | 10 | 314,1593 | 62,8319 | 0,0000 |
Errores que conviene evitar
- Eje frente a semieje. Las fórmulas necesitan los semiejes (del centro al borde), no los diámetros completos. Si has medido el ancho y el alto totales, divide antes cada valor entre dos.
- La circunferencia es un caso especial. Cuando a = b la excentricidad es 0 y el área es simplemente πr². Si la excentricidad te sale 0, tienes una circunferencia, no una elipse.
- El perímetro es una estimación. Incluso la fórmula de Ramanujan es una aproximación, aunque extremadamente buena. No esperes que coincida con el resultado exacto de la integral elíptica hasta veinte decimales.
Preguntas frecuentes
Los ejes mayor y menor son los diámetros completos más largo y más corto de la elipse. Los semiejes mayor (a) y menor (b) son la mitad de esos, medidos desde el centro. Esta calculadora usa los semiejes, así que divide entre dos cualquier diámetro completo antes de introducirlo.
A diferencia del área, el perímetro de una elipse no tiene una fórmula cerrada sencilla: requiere una integral elíptica completa de segunda especie. La aproximación de Ramanujan que se emplea aquí tiene una precisión mejor que una parte entre diez millones para las formas habituales, más que suficiente para cualquier medición práctica.
La excentricidad mide lo alargada que está la elipse. Un valor de 0 significa una circunferencia perfecta (a = b). A medida que el valor se acerca a 1, la elipse se vuelve más larga y estrecha. Por ejemplo, e = 0,8 es un óvalo claramente alargado, mientras que e = 0,1 es casi redondo.
No. El cálculo se actualiza en vivo mientras escribes. Los números que introduces se envían a nuestro servidor únicamente para calcular el resultado, y no se guardan ni se comparten, así que puedes usarla con total libertad para mediciones privadas.
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- Calculateur d'aire d'une ellipse [FR]
- Ellipsarea-kalkylator [SV]
- Calcolatore dell'area di un'ellisse [IT]
- Калькулятор площади эллипса [RU]