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Calculadora de Gram-Schmidt

Paso 1 / 3 Calculadora de Gram-Schmidt

Introduce de 2 a 4 vectores con de 2 a 4 números cada uno, separados por comas. Todos los vectores deben tener el mismo número de componentes. Usa el punto para los decimales.

Siguiente

El proceso de Gram-Schmidt convierte una lista de vectores en otra de vectores perpendiculares entre sí que generan el mismo espacio. Introduce de 2 a 4 vectores con de 2 a 4 números cada uno, elige ortogonal u ortonormal, y la calculadora muestra cada coeficiente de proyección, el vector u_k que se construye con él, su longitud y el vector unitario e_k. La aritmética es exacta, así que un vector que no aporta ninguna dirección nueva se indica como linealmente dependiente en lugar de perderse en el redondeo.

Cómo usar la calculadora de Gram-Schmidt

  1. 1

    Escribe tus vectores

    Escribe un vector por línea con sus componentes separadas por comas, por ejemplo 1, 1, 0. Usa de 2 a 4 vectores que tengan todos el mismo número de componentes (de 2 a 4). Para los decimales usa el punto, con hasta cuatro cifras decimales.

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    Elige el resultado

    Elige vectores ortonormales (de longitud 1, en decimales) o vectores ortogonales (en decimales y en fracciones exactas cuando son lo bastante cortas).

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    Lee los pasos

    La página de resultados muestra primero la base y después cada paso: los coeficientes de proyección, u_k, su longitud al cuadrado y su longitud, y e_k. Un vector omitido aparece marcado como linealmente dependiente.

Cómo funciona el proceso de Gram-Schmidt

Dados los vectores v_1, v_2, …, v_n, el proceso construye de uno en uno los vectores ortogonales u_1, u_2, …:

  • u_1 = v_1
  • u_k = v_k - c_k1 u_1 - c_k2 u_2 - ... - c_k,k-1 u_k-1
  • cada coeficiente de proyección es c_kj = (v_k · u_j) / (u_j · u_j)

Restar la proyección quita de v_k todo lo que apunta en la dirección de los u_j anteriores, de modo que u_k queda perpendicular a todos ellos. Al dividir cada u_k entre su longitud |u_k| = √(u_k · u_k) se obtiene el vector ortonormal e_k, que tiene longitud 1.

Ejemplo resuelto

Tomemos v_1 = (1, 1, 0), v_2 = (1, 0, 1) y v_3 = (0, 1, 1).

Paso Cálculo Resultado
u_1 v_1 (1, 1, 0)
c_21 (v_2 · u_1) / (u_1 · u_1) = 1/2 1/2
u_2 v_2 - 1/2 u_1 (1/2, -1/2, 1)
c_31, c_32 1/2 y 1/3 1/2, 1/3
u_3 v_3 - 1/2 u_1 - 1/3 u_2 (-2/3, 2/3, 2/3)

Los vectores ortonormales son e_1 ≈ (0,7071; 0,7071; 0), e_2 ≈ (0,4082; -0,4082; 0,8165) y e_3 ≈ (-0,5774; 0,5774; 0,5774).

Dependencia lineal

Si v_k ya está en el subespacio generado por los vectores anteriores, al restar sus proyecciones queda el vector cero. La calculadora lo detecta con exactitud, porque cada número se trata como una fracción y no interviene ninguna tolerancia. Ese vector se marca como dependiente y se omite, y los siguientes se ortogonalizan respecto a los independientes encontrados hasta ese momento. Con más vectores que dimensiones (tres vectores en el plano, por ejemplo) siempre hay al menos un vector dependiente.

Qué cubre esta calculadora

  • De 2 a 4 vectores con de 2 a 4 componentes, todos de la misma longitud, con componentes de hasta 1.000.000 en valor absoluto y hasta cuatro cifras decimales.
  • Los vectores ortogonales se muestran en decimales y, cuando la fracción es corta, en fracciones exactas. Los vectores unitarios se muestran en decimales porque necesitan una raíz cuadrada.
  • Usa el producto escalar estándar sobre los números reales. No admite vectores complejos, otros productos escalares ni tamaños mayores.

Preguntas frecuentes

Los vectores ortogonales son perpendiculares, así que cada par tiene producto escalar 0. Los vectores ortonormales son ortogonales y además tienen longitud 1. El conjunto ortonormal se obtiene dividiendo cada vector ortogonal u_k entre su longitud.

La calculadora marca el vector dependiente, explica que su resto u_k es el vector cero y lo omite. Los vectores siguientes se ortogonalizan respecto a los independientes. La página de resultados también te dice cuántos de tus vectores aportan una dirección nueva.

Sí. Gram-Schmidt conserva la dirección del primer vector y ajusta los demás a ella, así que otro orden da un conjunto ortogonal distinto. Todos esos conjuntos generan el mismo espacio.

Los datos se convierten en fracciones exactas y las proyecciones se calculan sin redondear, por eso la dependencia se detecta de forma fiable. Los vectores ortogonales se muestran con fracciones exactas cuando son lo bastante cortas para leerse. Los vectores unitarios necesitan una raíz cuadrada, así que aparecen como decimales redondeados a cuatro cifras.

Los vectores que escribes se envían al servidor para calcular el resultado y se añaden al enlace de la página al pasar de un paso a otro, de modo que un cálculo se puede guardar en favoritos o compartir. No se guardan en ninguna cuenta ni perfil.

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