Calculadora de Integrales
Ingresa una expresión en x (o cualquier variable) y la calculadora devuelve ya sea una antiderivada simbólica o un valor numérico sobre un intervalo dado. Maneja polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y racionales, junto con sustituciones comunes e integración por partes — con los pasos mostrados si necesitas comprobar tu desarrollo.
Cómo evaluar una integral
-
1
Escribe el integrando
Escribe la función como `x^2 + 3*sin(x)` o `1 / (x^2 + 1)`. Se acepta la multiplicación implícita con espacios.
-
2
Elige definida o indefinida
Para una integral definida, establece los límites inferior y superior (soporta `inf` y `-inf`).
-
3
Calcula
La herramienta intenta primero una solución simbólica; si eso falla, recurre a la cuadratura numérica.
-
4
Lee los pasos
La expansión paso a paso opcional muestra la sustitución, integración por partes o descomposición en fracciones parciales.
Antiderivadas comunes
| f(x) | Integral |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| sec^2(x) | tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan(x) + C |
| 1 / sqrt(1 - x^2) | arcsin(x) + C |
Técnicas que la herramienta intenta, en orden
- Reglas básicas — potencia, exponencial, trig.
- Sustitución (u-sub) — identificar una función y su derivada en el integrando.
- Integración por partes —
∫u dv = uv - ∫v du, para productos de diferentes tipos de funciones. - Fracciones parciales — para integrandos racionales
P(x)/Q(x)condeg(P) < deg(Q). - Identidades trigonométricas — para productos de senos y cosenos.
- Cuadratura numérica — Gauss-Kronrod para integrales definidas cuando no existe forma cerrada.
Notación de integral definida
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
El teorema fundamental dice: si F es una antiderivada de f, la integral definida de a a b es igual a F(b) - F(a). La herramienta calcula F primero, luego evalúa en los límites.
Errores comunes
- Olvidar el
+ C. Cada integral indefinida tiene una constante de integración. La herramienta la imprime; los estudiantes que escriben a mano a menudo se olvidan. - Límites incorrectos en integrales impropias.
∫_0^∞ e^(-x) dx = 1, pero∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π). Siempre verifica la convergencia. - Usar arctan en lugar de arctanh cuando el denominador se factoriza como
(x-a)(x-b)con raíces reales — eso es un logaritmo, no un arctan. - Olvidar la regla de la cadena en la sustitución u. Si
u = 3x, entoncesdu = 3 dx, nodu = dx.
Cuando no hay forma cerrada
Algunas integrales simplemente no tienen antiderivada elemental — e^(-x^2), sin(x)/x, 1/ln(x). Sobre un intervalo específico, aún tienen un valor numérico, que la herramienta calcula con alta precisión.
Preguntas frecuentes
Para una integral definida, la herramienta recurre a la cuadratura numérica (Gauss-Kronrod) y devuelve un valor con una estimación de error. Para una integral indefinida sin antiderivada elemental, informa esto y ofrece una expansión en serie como alternativa.
Sí. Envuelve la expresión para aclarar la variable, por ejemplo, integrate(t^2, t). Cualquier variable de una sola letra funciona.
Sí. Activa “mostrar pasos” y la herramienta imprime la sustitución, la elección por partes o la descomposición en fracciones parciales que utilizó, una línea a la vez.
Sí, pero es posible que necesites dividir el intervalo en los cruces por cero para una respuesta clara. La herramienta maneja \|x\| detectando los signos automáticamente cuando es posible.
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