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Calculadora de Multiplicación de Matrices

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Ingresa la matriz A (m×n) y la matriz B (n×p). Si las columnas de A coinciden con las filas de B, la calculadora devuelve el producto AB, una matriz m×p. Cada entrada del resultado es el producto punto de una fila de A con una columna de B, y la herramienta muestra cada una de esas sumas de producto punto explícitamente, para que puedas seguir el álgebra sin tomar nada por fe.

Cómo funciona la multiplicación de matrices

  1. 1

    Establecer dimensiones

    Filas/columnas de A y B. Las columnas de A deben ser iguales a las filas de B.

  2. 2

    Ingresar valores

    Rellena cada celda; se aceptan decimales y negativos.

  3. 3

    Leer el producto

    C = A·B, con dimensiones filas(A) × cols(B).

  4. 4

    Expandir una celda

    Toca cualquier C_ij para ver el producto punto fila_i(A) · col_j(B) con cada producto listado.

La regla

(AB)_ij = Σ_k A_ik · B_kj

La entrada (i, j) del producto es la suma de productos que emparejan la fila i de A con la columna j de B.

Ejemplo resuelto 2×2

A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]].

  • C_11 = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
  • C_12 = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
  • C_21 = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
  • C_22 = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50

AB = [[19, 22], [43, 50]].

Verifica el otro orden: BA = [[23, 34], [31, 46]]. No es igual a AB, la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Compatibilidad de dimensiones

Dimensiones A Dimensiones B ¿Compatible? Dimensiones del producto
2×3 3×4 Sí 2×4
3×3 3×3 Sí 3×3
2×3 4×3 No -
1×n n×1 Sí 1×1 (escalar)
n×1 1×n Sí n×n (producto exterior)

Propiedades

  • Asociativa: A(BC) = (AB)C.
  • Distributiva: A(B + C) = AB + AC.
  • NO conmutativa: AB ≠ BA en general.
  • Identidad: AI = IA = A donde I es la identidad de tamaño apropiado.
  • Matriz cero: A · 0 = 0, pero ten cuidado, AB = 0 NO implica A = 0 o B = 0.

Por qué el orden importa en aplicaciones

  • Gráficos por computadora: las matrices de transformación se componen de derecha a izquierda. M_pantalla = M_proyección · M_visión · M_modelo. Intercambiar escala y rotación da un resultado diferente.
  • Rotaciones: rotar alrededor de X luego Y no es lo mismo que Y luego X.
  • Cadenas de Markov: la matriz de transición por el vector de estado avanza un paso; intercambiar el orden no tiene sentido.

Complejidad computacional

La multiplicación estándar de dos matrices n×n es O(n³) operaciones. El algoritmo de Strassen lo reduce a O(n^2.81), y los límites teóricos son aún más bajos, pero para matrices de unos pocos cientos de tamaño, el método escolar es el más rápido en la práctica gracias a patrones de acceso amigables con la caché.

Preguntas frecuentes

Las columnas de la primera deben coincidir con las filas de la segunda. 2×3 · 2×3 falla porque A tiene 3 columnas pero B tiene 2 filas. Necesitarías transponer B: 2×3 · 3×2 está bien y produce un 2×2.

Para escalar por matriz, usa la calculadora de matrices general, esta herramienta es específicamente para multiplicar dos matrices.

Porque cada entrada de AB es un producto escalar de una fila de A con una columna de B; al invertir el orden se multiplican filas y columnas distintas. Solo ciertos pares especiales (A y su propia inversa, A y la identidad, matrices diagonales con entradas distintas) conmutan.

Sí. Un fila 1×n por una columna n×1 es un escalar 1×1 (producto punto). Lo inverso, n×1 por 1×n, produce un producto exterior n×n, una matriz de rango 1.

No. La multiplicación se realiza en tu navegador; los valores nunca salen de tu dispositivo.

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