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Calculadora de distribución normal

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Introduce en la calculadora una media, una desviación estándar y un valor bruto o una probabilidad, y te devolverá la puntuación z, el área bajo la curva (probabilidad acumulada) y el percentil correspondiente. Admite probabilidades de cola izquierda, de cola derecha y de dos colas: todo lo que suele necesitar una hoja de problemas de estadística de primer curso o un informe de control de calidad.

Cómo calcular probabilidades de la distribución normal

  1. 1

    Introduce la media y la desviación estándar

    Para la normal estándar, usa media 0 y desviación estándar 1. Para el IQ, usa media 100 y desviación estándar 15.

  2. 2

    Elige el tipo de problema

    P(X < x), P(X > x), P(a < X < b), o despeja x a partir de una probabilidad dada.

  3. 3

    Introduce el valor o la probabilidad

    Puede ser un número bruto de la distribución o una probabilidad de cola como 0,05.

  4. 4

    Lee la puntuación z y la probabilidad

    La herramienta muestra la puntuación z, la probabilidad acumulada y el percentil.

Las fórmulas

La puntuación z estandariza cualquier valor:

z = (x − μ) / σ

La función de distribución acumulada Φ(z) da la probabilidad de que una variable normal estándar quede por debajo de z. Como Φ no tiene forma cerrada, las calculadoras recurren a aproximaciones numéricas (la más habitual es el polinomio racional de Abramowitz y Stegun, preciso hasta siete decimales).

Regla empírica (68-95-99,7)

Intervalo Probabilidad
μ ± 1σ 68,27 %
μ ± 2σ 95,45 %
μ ± 3σ 99,73 %
μ ± 1,96σ (intervalo de confianza clásico del 95 %) 95,00 %
μ ± 2,576σ (intervalo de confianza del 99 %) 99,00 %

Valores z críticos habituales

  • Una cola, α = 0,05: z = 1,645
  • Dos colas, α = 0,05: z = ±1,96
  • Dos colas, α = 0,01: z = ±2,576
  • Dos colas, α = 0,001: z = ±3,291

Consejos rápidos de interpretación

  • Una z positiva significa por encima de la media; una z negativa, por debajo.
  • |z| > 2 ya es terreno poco frecuente: alrededor del 5 % de la distribución.
  • |z| > 3 es muy raro, en torno al 0,3 %, y suele usarse como umbral de valor atípico en fabricación.
  • El percentil es Φ(z) × 100. Una z de 1,0 corresponde al percentil 84.

Dónde aparece

La puntuación de pruebas estandarizadas (SAT, IQ), el control de calidad (seis sigma), los modelos de riesgo financiero (el VaR supone normalidad, a menudo sin razón) e incontables contrastes de hipótesis en las ciencias experimentales se apoyan en las probabilidades de la distribución normal.

Preguntas frecuentes

Por el teorema central del límite. Las sumas y las medias de muchas variables aleatorias independientes tienden a una distribución normal, sea cual sea la distribución de partida. Eso convierte a la normal en una buena aproximación de las medias muestrales de muchos procesos del mundo real.

Exactamente normales, rara vez; aproximadamente normales, a menudo. Las estaturas, los errores de medición y las puntuaciones de IQ se acercan a la normal. Los rendimientos financieros, los tiempos de espera y muchos recuentos naturales no: tienen colas más pesadas o están sesgados. Representa siempre los datos antes de dar nada por supuesto.

Es “a cuántas desviaciones estándar de la media se sitúa este valor”. Una z de +2 significa “dos desviaciones estándar por encima de la media”, lo que coloca el valor en torno al percentil 97,7 si la distribución es normal.

La calculadora usa una aproximación numérica precisa hasta unos siete decimales para |z| < 6. Más allá de ese punto, las probabilidades son tan pequeñas que los números de coma flotante de doble precisión se quedan sin precisión; para trabajar en las colas más extremas, usa software de precisión arbitraria.

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