Calculadora RREF
Put one matrix row on each line. Separate entries with spaces; decimal-comma locales can use spaces, semicolons, or vertical bars between entries.
Reduce una matriz numérica a su forma escalonada reducida por filas y revisa cada operación elemental. Introduce una matriz rectangular de 1 × 1 a 8 × 8 para obtener su RREF, rango, nulidad, columnas pivote y columnas libres. La calculadora trabaja con números finitos, no con símbolos ni expresiones algebraicas, y no convierte una matriz ampliada en la solución escrita de un sistema.
Cómo calcular la RREF
-
1
Introduce la matriz
Escribe una fila de la matriz en cada línea y separa los valores numéricos con espacios, puntos y coma o barras verticales. Todas las filas deben tener el mismo número de entradas.
-
2
Comprueba las dimensiones
Puedes usar cualquier formato rectangular de 1 × 1 a 8 × 8. Se admiten decimales con coma y notación científica, pero no fracciones como 1/3 ni entradas simbólicas.
-
3
Sigue las operaciones por filas
La calculadora elige un pivote numérico, intercambia filas cuando hace falta, convierte el pivote en 1 y elimina las demás entradas de su columna.
-
4
Lee la estructura de la matriz
Consulta la RREF junto con el rango, la nulidad y los números, contados desde 1, de las columnas pivote y las columnas libres. Después puedes copiar el resumen.
Qué significa forma escalonada reducida por filas
Una matriz está en forma escalonada reducida por filas cuando cada fila no nula tiene un 1 principal, cada 1 principal queda más a la derecha que el de la fila superior, todas las demás entradas de una columna pivote son cero y las filas formadas únicamente por ceros están al final. Los unos principales son los pivotes.
La RREF muestra de forma coherente la estructura numérica de una matriz. Las columnas pivote indican dónde aparecen los pivotes; las demás son columnas libres. El rango es el número de pivotes. En una matriz con n columnas, la nulidad que se muestra aquí es n menos el rango y también coincide con el número de columnas libres.
Esta herramienta numera las columnas a partir de 1. Si indica que las columnas pivote son la 1 y la 3, se refiere a la primera y la tercera columna de la matriz introducida.
Operaciones por filas que se muestran
La calculadora utiliza los tres tipos habituales de operaciones elementales por filas:
- Intercambiar dos filas.
- Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
- Sustituir una fila por ella misma menos un múltiplo de otra fila.
En cada columna pivote, elige entre las filas restantes la que contiene el candidato a pivote de mayor valor absoluto. Este paso de pivoteo parcial protege el cálculo numérico, ya que evita dividir por un valor menor cuando hay otro disponible. La fila elegida se coloca en su posición, su pivote se convierte en 1 y se eliminan las entradas situadas por encima y por debajo. Cada matriz intermedia aparece en la lista de operaciones elementales.
Distintas secuencias válidas de operaciones pueden mostrar pasos intermedios diferentes. La forma escalonada reducida por filas final será la misma, salvo por pequeños efectos de la precisión finita.
Ejemplo numérico resuelto
Para la matriz predeterminada
| Columna 1 | Columna 2 | Columna 3 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | -1 |
| 2 | 4 | 1 |
| -1 | -2 | 2 |
la forma escalonada reducida por filas es
| Columna 1 | Columna 2 | Columna 3 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Hay dos pivotes, en las columnas 1 y 3, por lo que el rango es 2. La columna 2 es libre y la nulidad es 3 - 2 = 1. La calculadora muestra la secuencia exacta de operaciones por filas que ha utilizado para llegar al resultado, no solo la matriz final.
Rango, nulidad, columnas pivote y columnas libres
El rango cuenta las posiciones pivote de la matriz reducida. Describe la dimensión del espacio de columnas de la matriz y también coincide con el número de filas no nulas de la RREF.
La nulidad es la dimensión del espacio nulo de la matriz. Para una matriz m × n de rango r, la relación rango-nulidad es:
rango + nulidad = número de columnas, es decir, r + nulidad = n.
La calculadora obtiene estos valores directamente de la reducción numérica. Una matriz puede no tener columnas libres; en ese caso, su nulidad es cero. Una matriz rectangular ancha puede tener varias columnas libres, y una matriz con filas dependientes o nulas puede tener un rango inferior a su número de filas.
Reglas de entrada y tolerancia numérica
Introduce una fila por línea. En la página en español, separa las entradas con espacios, puntos y coma o barras verticales. Usa una coma para los decimales y no emplees separadores de miles. Las líneas vacías se ignoran, pero todas las filas no vacías deben tener la misma longitud. Puedes introducir enteros, decimales o notación científica como 2,5e-3. Cada valor debe ser finito y estar entre -1000000 y 1000000.
La calculadora utiliza aritmética de coma flotante. Durante la reducción, los valores cuyo valor absoluto es inferior a 1e-10 se tratan como cero. Esta tolerancia evita que pequeños restos de redondeo aparezcan como pivotes falsos, pero conviene comprobar las matrices cercanas a la singularidad con la precisión que exijan tus estudios o tu aplicación.
Qué no hace esta calculadora
Es un reductor numérico de matrices, no un sistema de álgebra simbólica. No admite variables, fracciones escritas como expresiones, radicales ni fórmulas. Tampoco calcula determinantes o inversas, genera soluciones paramétricas, convierte filas en ecuaciones ni decide si un sistema descrito por separado es compatible.
Puedes introducir una matriz ampliada numérica para examinar su reducción por filas, pero la herramienta trata todas las columnas como partes de una sola matriz. No reconoce el límite de ampliación ni interpreta la última columna como términos independientes. Usa la RREF y la información sobre columnas como resultado matricial y aplica después las convenciones que requiera tu problema de álgebra lineal.
Preguntas frecuentes
Admite matrices numéricas rectangulares de 1 a 8 filas y de 1 a 8 columnas. Todas las filas no vacías deben contener el mismo número de entradas.
Sí. Registra la matriz inicial y cada intercambio, escalado y eliminación de filas, con una vista de la matriz después de cada paso.
No. Introduce valores numéricos finitos, como enteros, decimales o notación científica. No se interpretan expresiones como 1/3, raíces cuadradas ni entradas simbólicas.
El rango es el número de columnas pivote encontradas durante la reducción. La nulidad es el número total de columnas menos el rango, por lo que coincide con el número de columnas libres.
Puede reducir por filas una matriz numérica, incluso números dispuestos como una matriz ampliada, pero no identifica variables, no interpreta el límite de ampliación, no comprueba un sistema escrito ni produce una solución paramétrica.
La reducción trata como cero los valores cuyo valor absoluto es inferior a 1e-10 para eliminar residuos de coma flotante. Las matrices cercanas a la singularidad pueden requerir una herramienta especializada de alta precisión o aritmética exacta.
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