Calculadora de integral triple
Las integrales triples miden cantidades distribuidas en una región tridimensional: volumen, masa a partir de una función de densidad o cualquier valor acumulado ∭f(x,y,z) dV. Esta calculadora ofrece una aproximación numérica en el navegador con la regla del punto medio sobre límites rectangulares para x, y y z, por lo que resulta útil para comprobaciones rápidas, ejemplos de clase y regiones con forma de caja.
Cómo aproximar una integral triple
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1
Introduce f(x,y,z)
Usa sintaxis de calculadora, por ejemplo x*y*z, x^2+y^2+z^2 o sin(x)*cos(y).
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2
Define límites numéricos
Rellena los valores mínimo y máximo de x, y y z. La herramienta evalúa una caja rectangular en el espacio xyz.
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3
Elige pasos por eje
El control fija n subdivisiones para cada eje, de modo que la estimación usa n³ muestras de punto medio.
-
4
Calcula la estimación
Cada caja pequeña se muestrea en su centro y se multiplica por el elemento de volumen ΔxΔyΔz.
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5
Refina y comprueba
Aumenta el número de pasos y compara con casos simples o con un resultado simbólico cuando exista.
Qué evalúa realmente la calculadora
| Entrada | Cómo se utiliza | Nota práctica |
|---|---|---|
f(x,y,z) |
Valor que se toma en cada punto medio | Las funciones suaves convergen de forma más predecible que los picos bruscos o las discontinuidades |
x min/max, y min/max, z min/max |
Límites rectangulares numéricos | Los límites pueden ser negativos; invertir mínimo y máximo cambia el signo de ese eje |
| Pasos por eje | Número de divisiones en cada dimensión | El trabajo crece como n³, así que 60 pasos implican 216.000 evaluaciones de la función |
Es una calculadora numérica, no un integrador simbólico. No encuentra primitivas ni deduce nuevos límites para coordenadas esféricas o cilíndricas. Si tu región es una bola, un cono u otro sólido curvo, primero reformula el problema en límites e integrando que este método rectangular de punto medio pueda muestrear, o usa un flujo simbólico para integrales triples.
Usos habituales
- Comprobar volúmenes: usa
f(x,y,z) = 1sobre una caja para confirmar su volumen. - Estimar masa: introduce una densidad ρ(x,y,z) e intégrala sobre límites numéricos.
- Valor medio: divide la estimación de la integral entre el volumen de la caja.
- Verificación numérica: compara una respuesta obtenida a mano o del libro con una estimación computacional rápida.
Sistemas de coordenadas y elementos de volumen
| Sistema de coordenadas | Elemento de volumen típico | Qué recordar aquí |
|---|---|---|
| Cartesiano | dx dy dz | Coincide directamente con los límites x/y/z de esta calculadora |
| Cilíndrico | r dr dθ dz | Útil en regiones con simetría axial, pero el factor r debe formar parte del integrando transformado |
| Esférico | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Útil para bolas y capas, pero exige límites transformados y el factor jacobiano |
La interfaz solo acepta rangos numéricos para x, y y z. Las ideas de cambio de coordenadas siguen siendo útiles para plantear el problema, pero la expresión final debe coincidir con las variables y los límites que muestrea la calculadora.
Comprobación: cubo unidad
Para el cubo unidad y f(x,y,z) = x*y*z:
∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0,125
Es una buena entrada de prueba porque los límites son rectangulares y la respuesta esperada es sencilla. Si tu resultado numérico queda lejos de 0,125, aumenta los pasos o revisa la sintaxis de la expresión.
Consejos de precisión
La regla del punto medio suele mejorar al aumentar el número de pasos, pero sigue siendo una aproximación. Funciona mejor con funciones suaves en una caja rectangular. Las discontinuidades, singularidades, picos muy estrechos o regiones que no son realmente cajas pueden producir valores engañosos si el problema no se reformula con cuidado.
Preguntas frecuentes
La calculadora usa una regla numérica del punto medio. Más pasos significan más puntos de muestra, así que la estimación debería acercarse normalmente a un valor estable para integrandos suaves.
No. Esta página aproxima integrales definidas sobre límites numéricos. Usa una calculadora simbólica de integrales cuando necesites primitivas o pasos algebraicos.
No directamente. Las entradas son rangos rectangulares para x, y y z. En planteamientos cilíndricos o esféricos, incluye el factor jacobiano correcto y los límites transformados en un método que admita esas variables.
No. Todos los cálculos se ejecutan en tu navegador.
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