Calculadora de Integral Triple
Las integrales triples calculan volumen, masa y flujo sobre regiones tridimensionales — el tipo de problema donde una región cartesiana como una caja tiene límites sencillos, pero el sólido entre dos paraboloides requiere decisiones cuidadosas sobre el orden de integración. Esta calculadora evalúa ∭f(x,y,z) dV sobre los límites que especifiques, soporta coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, y muestra cada paso de la antiderivada.
Cómo calcular una integral triple
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1
Ingresa f(x,y,z)
El integrando. Notación estándar: x*y*z, x^2+y^2, sin(x)*cos(y).
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2
Elige un sistema de coordenadas
Cartesiano (dx dy dz), cilíndrico (r dr dθ dz), o esférico (ρ² sin(φ) dρ dφ dθ).
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3
Establece los límites
Para cada una de las tres variables — constantes o funciones de las otras.
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4
Elige el orden de integración
dzdydx, dxdydz, etc. La elección puede simplificar drásticamente las matemáticas.
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5
Ve la evaluación paso a paso
Integral interna primero, luego la del medio, luego la externa, con antiderivadas en cada etapa.
Para qué son los tres sistemas de coordenadas
| Sistema | Elemento de volumen | Mejor para |
|---|---|---|
| Cartesiano | dx dy dz | Cajas, prismas, regiones no simétricas generales |
| Cilíndrico | r dr dθ dz | Cilindros, conos, superficies de revolución |
| Esférico | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Esferas, sectores de esferas, problemas gravitacionales |
Usar el sistema incorrecto convierte una integral trivial en una pesadilla. Una esfera de radio 1 integrada en cartesiano tiene límites desordenados √(1 − x² − y²); en esférico, es ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ, limpio y separable.
Problemas comunes
- Masa: ∭ρ(x,y,z) dV, donde ρ es la densidad.
- Centro de masa: ∭x ρ dV / masa total, análogo para y y z.
- Momento de inercia: ∭r² ρ dV sobre un eje elegido.
- Volumen: ∭1 dV — el integrando es 1, reduciendo al cálculo del volumen de la región.
Cambiando el orden de integración
Para una región donde el límite interno no puede expresarse bien como una función de la variable externa, cambiar el orden a menudo ayuda. Dibuja la región, proyecta sobre el plano interno-externo que deseas, y vuelve a derivar los límites.
Ejemplo resuelto: volumen de una esfera
En coordenadas esféricas, la esfera unitaria {x²+y²+z² ≤ 1}:
V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
= ∫₀²π (2/3) dθ
= 4π/3
La famosa V = (4/3)πr³ se obtiene en tres pasos limpios — en cartesiano la misma integral ocupa múltiples páginas.
Respaldo numérico
Algunas integrales no tienen antiderivada en forma cerrada. Cuando la integración simbólica falla, la calculadora recurre a la cuadratura numérica, devolviendo un valor aproximado con una estimación de error.
Preguntas frecuentes
La mayoría de las veces los límites estaban mal. Los límites de la integral triple pueden depender de las variables internas, y un mal orden produce integrales matemáticamente diferentes. Dibuja la región primero, luego deriva los límites cuidadosamente.
La calculadora cambia a métodos numéricos (cuadratura adaptativa). Obtienes una respuesta numérica con un límite de error en lugar de una expresión simbólica.
Esférico cuando la región tiene simetría 3D completa alrededor de un punto (esferas, conos desde un punto). Cilíndrico cuando hay simetría axial (cilindros, superficies de revolución alrededor de un eje). Cartesiano cuando no hay ninguna.
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