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Calculadora de progresión geométrica

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Una progresión geométrica es una lista de números en la que cada término es el anterior multiplicado por un valor fijo llamado razón común. Introduce el primer término, la razón común y cuántos términos quieres, y esta calculadora te devuelve el término n, la suma de los n primeros términos y una vista previa de la propia progresión. Todo se actualiza al instante en tu navegador mientras escribes, así que puedes explorar patrones de crecimiento, decrecimiento y capitalización sin calcular potencias ni raíces a mano. Funciona con números enteros, decimales, fracciones escritas como decimales y razones menores que 1 para progresiones decrecientes.

Cómo usar la calculadora de progresión geométrica

  1. 1

    Introduce el primer término y la razón

    Escribe el primer término (a₁) y la razón común (r). Una razón mayor que 1 hace crecer la progresión; una razón entre 0 y 1 la hace decrecer.

  2. 2

    Elige cuántos términos

    Fija el número de términos (n). La calculadora halla el término n y suma por ti los n primeros términos.

  3. 3

    Lee los resultados

    Consulta el término n, la suma parcial y una vista previa de la progresión, todo recalculado a medida que cambias los datos.

Las fórmulas

En una progresión geométrica cada término es igual al término anterior multiplicado por la razón común r. Partiendo del primer término a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

La suma de los n primeros términos (la suma parcial) es:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) para r ≠ 1

Cuando la razón es exactamente 1, todos los términos son iguales, así que la suma es simplemente Sₙ = n · a₁. Si la razón está estrictamente entre −1 y 1, la suma infinita converge a a₁ / (1 − r).

Ejemplo resuelto

Toma a₁ = 2 y r = 3, y pide n = 5 términos.

  • Progresión: 2, 6, 18, 54, 162
  • 5.º término: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
  • Suma: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

Cada término es exactamente 3 veces el anterior, y los cinco términos suman 242.

Términos y sumas parciales de un vistazo

n Término aₙ = 2·3^(n−1) Suma Sₙ
1 2 2
2 6 8
3 18 26
4 54 80
5 162 242

Errores frecuentes

  • Fallo de una unidad en el exponente. El término n usa r^(n−1), no rⁿ: al primer término aún no se le ha aplicado la razón.
  • Razón igual a 1. Si introduces r = 1 en la fórmula principal de la suma, divides entre cero. Usa Sₙ = n · a₁ en su lugar; esta herramienta cambia de fórmula automáticamente.
  • Geométrica frente a aritmética. Una progresión geométrica multiplica por una razón fija; una aritmética suma una diferencia fija. Confundirlas da términos completamente erróneos.
  • Razones negativas. Una razón como −2 alterna el signo de los términos (2, −4, 8, −16, …); es válida y la calculadora la admite.

Dónde aparecen las progresiones geométricas

Las progresiones geométricas modelan todo lo que crece o decrece un porcentaje constante en cada paso. El interés compuesto multiplica un saldo por el mismo factor cada periodo, de modo que los saldos forman una progresión geométrica. El crecimiento de la población, la desintegración radiactiva medida en semividas, la altura de los rebotes de una pelota que se deja caer y la depreciación anual de un activo siguen todos el mismo patrón. Reconocer la razón común en datos reales te permite proyectar el siguiente valor, estimar un total acumulado o juzgar si es aplicable la fórmula de la suma infinita convergente cuando la razón se sitúa entre −1 y 1.

Preguntas frecuentes

En una progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por una razón común fija (2, 6, 18, …). En una progresión aritmética cada término es el anterior más una diferencia común fija (2, 5, 8, …). Las progresiones geométricas crecen o decrecen de forma exponencial; las aritméticas cambian a un ritmo constante.

Usa la fórmula cerrada aₙ = a₁ · r^(n−1). Multiplica el primer término por la razón común elevada a n − 1. Por ejemplo, el 8.º término de 2, 6, 18, … es 2 · 3⁷ = 4374. Esta calculadora lo hace al instante.

Sí. Una razón entre 0 y 1 (como 0,5) hace que la progresión decrezca hacia cero, y una razón negativa (como −2) hace que los signos se alternen. Introduce el valor como decimal y la calculadora resuelve ambos casos correctamente.

No. Tus números se envían al servidor solo para calcular el resultado. No se almacenan ni se utilizan para ningún otro fin.

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