Calculadora hipergeométrica

Qué significa el cálculo

N es el tamaño de la población; K, los éxitos que contiene; n, los elementos extraídos; y X, los éxitos obtenidos en la muestra. La extracción es sin reemplazo: un elemento extraído no vuelve a entrar.

Para un resultado exacto k:

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

C(a, b) es el número de maneras de elegir b elementos entre a. Solo son posibles desde max(0, n - (N - K)) hasta min(n, K) éxitos. Un objetivo exacto fuera de ese intervalo tiene probabilidad cero, aunque esté entre cero y el tamaño de la muestra. Como máximo k suma las probabilidades exactas hasta k; como mínimo k, desde k en adelante. Por eso, un suceso acumulado fuera del intervalo posible puede tener probabilidad cero o uno.

Ejemplo: cinco extracciones entre 20 elementos

Supón que una caja contiene 20 elementos, siete de ellos marcados. Extrae cinco sin reemplazo y pregunta por exactamente dos marcados. Introduce N = 20, K = 7, n = 5, k = 2 y selecciona Exactamente k.

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15504 = 6006 / 15504 ≈ 0,387384.

Equivale aproximadamente al 38,74 %. Si eliges Como máximo k, obtendrás P(X ≤ 2) ≈ 0,793215; con Como mínimo k, P(X ≥ 2) ≈ 0,594169. Ambos sucesos acumulados incluyen el resultado de exactamente dos.

Media, varianza y diferencia con la distribución binomial

El número esperado de éxitos es n × K / N. Si N > 1, la varianza es n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1); si N = 1, es cero. El último factor refleja cómo cambia la composición de la población tras cada extracción.

La documentación de R sobre la distribución hipergeométrica describe las funciones correspondientes de probabilidad exacta y distribución acumulada.

Usa un modelo binomial cuando los ensayos sean independientes y cada uno tenga la misma probabilidad de éxito, como sucede si devuelves el elemento antes de la siguiente extracción. Usa el modelo hipergeométrico para un número fijo de extracciones de una población finita sin reemplazo. La calculadora acepta enteros y calcula la distribución en el navegador. Los pasos guiados guardan temporalmente los datos en esta pestaña; en otra pestaña o tras caducar la sesión, puede que tengas que empezar de nuevo.

Si una probabilidad no nula es extremadamente pequeña, puede aparecer Menos de 10^-300 porque la representación decimal habitual no alcanza a mostrarla. El CSV incluye además el logaritmo decimal de cada resultado posible para que puedas consultar su orden de magnitud.